Matrizes e Suas Operações¶
Operações com Matrizes¶
Introdução às Matrizes¶
Uma matriz $A_{m \times n}$ é uma estrutura de m linhas e n colunas. $a_{ij}$ é o elemento da matriz $A$ que se encontra na linha $i$ e coluna $j$.
Tratamos as linhas e as colunas como vetores.
Ex.:
- Linha como vetor: $a_1=(a_{11}, a_{12}, a_{13}, ..., a_{1n})$ pertence ao $\mathbb{R}^n$ porque possui $n$ componentes.
- Coluna como vetor: $a_n=(a_{1n}, a_{2n}, a_{3n}, ..., a_{mn})$ pertence ao $\mathbb{R}^m$ porque possui $m$ componentes.
Tipos de Matrizes¶
Matriz Nula¶
- Todos os elementos são nulos. Indicada por $O_{m \times n}$.
Matriz quadrada de ordem $n$¶
- Matriz com a mesma quantidade de linhas e colunas $n$. Ex.: matriz quadrada de ordem 2.
Diagonal principal¶
Elementos tais que $i = j$, que vai do canto superior esquerdo ao canto inferior direito.
$$M_{3 \times 3} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} $$Na matriz $M_{3 \times 3}$ acima, 1, 5, 9 são os elementos da diagonal principal.
No caso de matrizes retangulares, a diagonal principal continua tendo seu primeiro elemento sendo o $a_{11}$ (superior esquerdo), e a partir daí se segue a diagonal até o lado direito (inferior direito) da matriz.
Traço¶
Soma dos elementos da diagonal principal. Usando a matriz $M_{3 \times 3}$ anterior, seu traço é dado por:
$$tr(M) = 1+5+9 = 15.$$Matriz Identidade de Ordem $n$¶
Matriz onde todos os elementos da diagonal principal são 1 e o restante é composta por 0. Denotamos essa matriz por $I_n$ ou $Id_n$.
$$I_{2 \times 2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $$Trata-se de um elemento neutro da multiplicação; qualquer matriz multiplicada pela Identidade de mesma ordem, resulta nela mesma.
Matriz Triangular¶
- Superior É uma matriz que possui elemento $a_{ij}$ igual a zero para todo $i > j$; possui apenas zeros abaixo da diagonal principal.
- Inferior É uma matriz que possui elemento $a_{ij}$ igual a zero para todo $i < j$; possui apenas zeros acima da diagonal principal.
Matriz Diagonal¶
É uma matriz que possui $a_{ij} = 0$ para todo $i \neq j$.
$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 8 & 0\\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 8\\ 0 & 0 \end{bmatrix} $$Operações entre matrizes¶
Soma¶
Soma-se elemento por elemento:
$$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 3 & 7 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 7 & 2 \\ 3 & 11 \end{bmatrix}$$Multiplicação por escalar¶
Todos os elementos são multiplicados pelo escalar:
$$4 \cdot \begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 3 & 7 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 24 & 8 \\ 12 & 28 \end{bmatrix}$$Multiplicação de duas matrizes¶
Dada a matriz $C_{m \times n}$, seus elementos serão $c_{ij} = \sum_{k=1}^{n}a_{ik}\times b_{kj}$.
- É necessário que o número de colunas da primeira seja igual ao número de linhas da segunda. A ordem de multiplicação entre matrizes importa.
Ex.:
$A_{2\times3} \times B_{3\times1}$ é possível e o resultado será uma terceira matriz $C_{2\times1}$, enquanto que $B_{3\times1} \times A_{2\times3}$ não é possível.
Transposição de Matrizes¶
Para obtermos uma matriz transposta, trocamos as colunas com as linhas na matriz original.
Ex.:
$$A = \begin{bmatrix}
1 & 2\\
0 & 8\\
3 & 0
\end{bmatrix} \rightarrow A^T =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 3\\
2 & 8 & 0\\
\end{bmatrix}$$
Assim, temos uma ordem invertida; $A$ era $3 \times 2$ e agora $A^T$ é $2 \times 3$.
Algumas propriedades da transposição:
- $(B^T)^T = B$
- $(A+B)^T = A^T + B^T$
- $(AB)^T = B^T A^T$