Operações com Matrizes

Matrizes e Suas Operações¶

Operações com Matrizes¶

Introdução às Matrizes¶

Uma matriz $A_{m \times n}$ é uma estrutura de m linhas e n colunas. $a_{ij}$ é o elemento da matriz $A$ que se encontra na linha $i$ e coluna $j$.

Tratamos as linhas e as colunas como vetores.

Ex.:

• Linha como vetor: $a_1=(a_{11}, a_{12}, a_{13}, ..., a_{1n})$ pertence ao $\mathbb{R}^n$ porque possui $n$ componentes.
• Coluna como vetor: $a_n=(a_{1n}, a_{2n}, a_{3n}, ..., a_{mn})$ pertence ao $\mathbb{R}^m$ porque possui $m$ componentes.

Tipos de Matrizes¶

Matriz Nula¶

• Todos os elementos são nulos. Indicada por $O_{m \times n}$.

$$O_{2 \times 3} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

Matriz quadrada de ordem $n$¶

• Matriz com a mesma quantidade de linhas e colunas $n$. Ex.: matriz quadrada de ordem 2.

$$M_{2 \times 2} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$

Diagonal principal¶

Elementos tais que $i = j$, que vai do canto superior esquerdo ao canto inferior direito.

$$M_{3 \times 3} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$$

Na matriz $M_{3 \times 3}$ acima, 1, 5, 9 são os elementos da diagonal principal.

No caso de matrizes retangulares, a diagonal principal continua tendo seu primeiro elemento sendo o $a_{11}$ (superior esquerdo), e a partir daí se segue a diagonal até o lado direito (inferior direito) da matriz.

Traço¶

Soma dos elementos da diagonal principal. Usando a matriz $M_{3 \times 3}$ anterior, seu traço é dado por:

$$tr(M) = 1+5+9 = 15.$$

Matriz Identidade de Ordem $n$¶

Matriz onde todos os elementos da diagonal principal são 1 e o restante é composta por 0. Denotamos essa matriz por $I_n$ ou $Id_n$.

$$I_{2 \times 2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Trata-se de um elemento neutro da multiplicação; qualquer matriz multiplicada pela Identidade de mesma ordem, resulta nela mesma.

Matriz Triangular¶

• Superior
É uma matriz que possui elemento $a_{ij}$ igual a zero para todo $i > j$; possui apenas zeros abaixo da diagonal principal.
• Inferior
É uma matriz que possui elemento $a_{ij}$ igual a zero para todo $i < j$; possui apenas zeros acima da diagonal principal.

Matriz Diagonal¶

É uma matriz que possui $a_{ij} = 0$ para todo $i \neq j$.

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 8 & 0\\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 8\\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

Operações entre matrizes¶

Soma¶

Soma-se elemento por elemento:

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 3 & 7 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 7 & 2 \\ 3 & 11 \end{bmatrix}$$

Multiplicação por escalar¶

Todos os elementos são multiplicados pelo escalar:

$$4 \cdot \begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 3 & 7 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 24 & 8 \\ 12 & 28 \end{bmatrix}$$

Multiplicação de duas matrizes¶

Dada a matriz $C_{m \times n}$, seus elementos serão $c_{ij} = \sum_{k=1}^{n}a_{ik}\times b_{kj}$.

• É necessário que o número de colunas da primeira seja igual ao número de linhas da segunda. A ordem de multiplicação entre matrizes importa.
  
  Ex.:
  $A_{2\times3} \times B_{3\times1}$ é possível e o resultado será uma terceira matriz $C_{2\times1}$, enquanto que $B_{3\times1} \times A_{2\times3}$ não é possível.

Transposição de Matrizes¶

Para obtermos uma matriz transposta, trocamos as colunas com as linhas na matriz original.

Ex.: $$A = \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 0 & 8\\ 3 & 0 \end{bmatrix} \rightarrow A^T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3\\ 2 & 8 & 0\\ \end{bmatrix}$$

Assim, temos uma ordem invertida; $A$ era $3 \times 2$ e agora $A^T$ é $2 \times 3$.

Algumas propriedades da transposição:

1. $(B^T)^T = B$
2. $(A+B)^T = A^T + B^T$
3. $(AB)^T = B^T A^T$